В первом C6 (система) степени в правых частях уравнений куб или квадрат?
Плохо видно...
P.S. попробую решить эти номера, решения выложу чуть потом, если кому интересно Добавлено (2010-02-24, 3:12 Pm)
---------------------------------------------
С6-2.
Заметим, что A(1001)+...+A(1999)=A(1)+...+A(999) и что
A(10)+...+A(90)=A(1)+...+A(9), A(10)+...+A(990)=A(1)+...+A(99).
Обозначим через S(9) сумму A(1)+...+A(9), через S(99) сумму A(1)+...+A(99), через S(999) сумму A(1)+...+A(999).
S(9)=1+2+...+9=5*9=45
S(99)=S(9)+S(9)+2*S(9)+...+9*S(9)+S(9)=47*S(9)=2115
S(999)=S(99)+S(99)+2*S(99)+...+9*S(99)+S(99)=4 7*S(99)=99405
Заметим, что A(1000)+(A(2000)+A(2001)+...+A(2010))=1+2*(3+S(9))=97
Отсюда A(1)+...+A(2010)=2*99405+97=198907
P.S. На наличие арифметических ошибок не проверял.
C6-3.
Докажем, что если целое число k заключено между дробями (m/p)*n и ((m+1)/(p+1))*n, где m любое натуральное меньше p, то n не меньше 2p+1.
Предположим противное. Если взять m=(p-1), то имеем дроби n-(n/p) и n-(n/(p+1)). Если n меньше 2p, то обе дроби больше (n-2) и меньше n. Решение возможно, если k=(n-1), тоесть первая дробь меньше (n-1), а вторая больше (n-1). Но тогда получаем, что n больше p, но меньше p+1. Противоречие, т.к. n - натуральное.
Пусть теперь n=2p. Тогда первая дробь равна 2m, поэтому вторая должна быть больше 2m+1, тогда как вторая 2m+2(1-((m+1)/(p+1))) при m=(p-1) меньше 2m+1. Противоречие.
Если n=2p+1, то первая дробь заключена в пределах (2m,2m+1), вторая в пределах (2m+1,2m+2) и тогда k=2m+1.
Итак, в нашей задаче p=2009, поэтому наименьшее возможное n=2*2009+1=4019
P.S. Замечу, что числа k,m,n в задаче натуральные (по условию).
?
RSS: