Предлагаю в данной теме разбирать наиболее трудные задания из ЕГЭ по математике,С5 и С6. 
:)
только эти два задания..пишем,спрашиваем,решаем))) выкладываю решение нескольких задач : 1) С6
Последние члены двух конечных арифметических прогрессий
a1=5,a2=8,⋯,aN и b1=9,b2=14,⋯,bM
совпадают, а сумма всех совпадающих (взятых по одному разу) членов этих прогрессий равна 815. Найти число членов в каждой прогрессии.
Решение:
N,M-?
* d1=3⇒aN=a1+d1⋅(N-1)=5+3(N-1)=3N+2,
d2=5⇒bM=9+5(M-1)=5M+4.
* 3N+2=5M+4⇒3N=5M+2,
5M+2 делится на 3⇒M=3k-1,k∈ℕ,
5(3k-1)+2=3N⇒N=5k-1,
Итак ∃k∈ℕ:N=5k-1,M=3k-1 и при этом aN=bM=15k-1.
* Совпадать могут только члены вида 15k-1. Поэтому сумма последовательности чисел вида 15k-1 будет равна 815.
c1=14,d=15,Sk-815,k-?
SK=2c1+(k-1)d2⋅k,
815=28+15k-152⋅k,
15k2+13k-1630=0,
k=10.
Поэтому N=5k-1=49,M=3k-1=29
2) С6
Решите в целых числах уравнение
`y^2+1=2^x`.
Решение:
* Пусть `x>=2 => y^2+1` делится на `4`.
* `y` - очевидно, нечетно `=> y=2k+1 => (2k+1)^2+1=4k^2+4k+2=4(k^2+k)+2` делится на `4` - противоречие.
* `x<0 => 2^x=y^2+1` - не целое - противоречие.
* Итак `x=0` или `1`. Тупо проверяем, получаем ответ.
3) С6
Решите уравнение в натуральных числах mn + 25 = 4m.
Решение. Выразим из уравнения mn + 25 = 4m переменную m
25 = 4m - mn, 25 = m(4 - n), m = 25/(4 - n).
Так как по условию m и n являются натуральными числами, то n может быть равным только 1,2,3.
Действительно, если n = 4, то знаменатель равен нулю, чего не должно быть. По этому мы исключаем число 4.
Если n = 5, n = 6 и т. д., то получим 4 - n <0, и число m будет отрицательным, чего также не должно быть, так как по условию m — натуральное число.
При n = 1: m = 25/3 – не является натуральным числом.
При n = 2: m = 25/2 – не является натуральным числом.
При n = 3: m = 25 – является натуральным числом.
Ответ: m = 25, n = 3.
4) С6
Среди обыкновунных дробей с положительными знаменателями, расположенными между числами 96/35 и 97/36 найдите такую, знаменатель которой минимален.
Решение :
Пусть m/n - искомая несократимая дробь. Тогда 97/36 < m/n < 96/35 ⇒ 97n/36 < m < 96n/35.
Если n = 1, то 97/36 < m < 96/35. Так как 2 < 97/36 и 96/35 < 3, то 2 < m < 3. Целых m, удовлетворяющих полследнему неравенству нет. Значит, n ≠ 1.
Если n = 2, то 97/18 < m < 192/35. Так как 5 < 97/18 и 192/35 < 6, то 5 < m < 6. Целых m, удовлетворяющих полследнему неравенству также нет. Значит, n ≠ 2.
Если n = 3, то 97/12 < m < 278/35. Так как 8 < 97/12 и 192/35 < 9, то 8 < m < 9. Целых m, удовлетворяющих полследнему неравенству опять нет. Значит, n ≠ 3.
Если n = 4, то 97/9 < m < 384/35. Так как 10 < 97/9 и 384/35 < 11, то 10 < m < 11. Целых m, соотвествующих n = 4 нет. Значит, n ≠ 4.
Если n = 5, то 485/36 < m < 96/7. Так как 13 < 485/36 и 96/7 < 14, то 13 < m < 14 . Целых m, соотвествующих n = 5 нет. Значит, n ≠ 5.
Если n = 6, то 97/6 < m < 576/35. Так как 16 < 97/6 и 576/35 < 17, то 16 < m < 17. Целых m, соотвествующих n = 6 нет. Значит, n ≠ 6.
Если n = 7, то 679/36 < m < 96/5. Так как 18 < 679/36 и 96/5 < 207, то 18 < m < 20 ⇒ m = 19 и n = 7.
Ответ: 19/7.
RSS: