C6 - ФОРУМ ПОСТУПИМ.РУ

Banck

Дата: Вторник, 2012-06-05, 8:25 PM | Сообщение # 1

Абитуриент

Группа: Пользователи

Сообщений: 17

Репутация: 0

Награды: 0

Замечания: 0%

Статус: Offline

На листе бумаги в строчку записаны 14 единиц.
а) Докажите, что между этими единицами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий
получится число, делящееся на 162.
б) Докажите, что если единицы, стоящие на четных местах, заменить на четверки, все равно между числами полученного набора можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после
выполнения действий получится число, делящееся на 162.
в) Докажите, что между любыми 14 натуральными числами можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 162.

Под А знаю как делать(Нужно 162 разложить на множители и сделать произведение сумм этих множителей.)
А как под Б и В делать?

Hellko

Дата: Вторник, 2012-06-05, 8:44 PM | Сообщение # 2

Академик

Группа: Проверенные

Сообщений: 1340

Репутация: 362

Награды: 26

Замечания: 0%

Статус: Offline

В) 162 = 2·3^4
если поставить рядом `3` абсолютно любых числа, то можно расставить скобки знаки сложения и умножения, что в любом случае будет делиться на `3`.
Пример: `a` - делится на `3`.
`(a)*(a+1)*(a+2)` - тут сразу видно, что `a` делится на `3`. Можно попробовать иначе:
`(a+1)*(a+2 + a+1)`, `(a+2 + a+2 + a+2)` - все возможные варианты расстановки делятся на `3`.
`162=2*3^4` Достаточно `3*4=12` чисел чтобы полученное число делилось на `3^4`
По аналогии с делением на `3` Рассмотрим деление на `2`. достаточно пакета из двух чисел: • 2 нечетных в сумме делятся на 2. • Если есть хоть одно четное на него можно сразу умножать

Егэ 2012:
М: 92
Ф: 90