В итоге школьники нашпиговываются пачкой новых формул и рецептов и бездумно их применяют. Мозги зверски развивает.

Заявление!

Я не раз заявлял о своей интуиционистской позиции, но понимать мой интуиционизм следует не в том духе, о котором заявлял Брауэр и другие. Как раз позиция Лузина, Пуанкаре, Кантора мне ближе. Мою стратегию в математике можно назвать истинный интуиционизм, или радикальный неоплатоновский. Суть его в том, что математика есть знание и человек может знать о тех идеальных объектах, о которых он действительно думает. Если кто-то заменяет эти идеальные объекты на что-то другое, например, на "буквы", то он говорит о чём угодно, только не о предмете, который был изначально определён интуицией. Т.е. формалист говорит не о предмете исследования. А значит, врёт. Хотя формализация может быть иногда полезна как технический приём. Иными словами, вопреки Брауэру, математик имеет прямую связь с Богом. С другой стороны, мы не можем приписывать конкретным идеальным объектам, к примеру континууму, произвольно те или иные непротиворечивые свойства, подобно тому, как конкретному вектору пространства нельзя приписывать уравнения, которым он должен удовлетворять. Т.е., хотя можно сформулировать непротиворечивые линейные свойства, для конкретного вектора они могут не подойти. С моей точки зрения, математике необходимо сделать радикальный шаг, привлекая к решению задач не только дедукцию, но и строгую индукцию.

Сначала приведу пример логического рассуждения вне вербальных рамок. Если оперативный командир находится со своим отрядом в боевой ситуации, то он принимает решения, делает логические выводы, в первую очередь, опираясь на свои наблюдения, а не на слова. Мало того, если в такой ситуации делать выводы, исходя только из сообщений подчинённых, то можно погибнуть вместе с ними. Подобным же образом, вожак волчей стаи, как заметили биологи, планирует свои действия: обходит деревни, выбирает место стоянки, выбирает время охоты, т.е. принимает решение на интуиции.

Если математик решает сложную задачу, то только на некотором, самом примитивном уровне он рассуждает в том смысле слова "рассуждать", которое имеют ввиду обычные люди. Т.е. на этапе, когда он только примеряется к задаче. Затем происходит следующее. Задача, если она действительно трудная, означает, что известными методами её не решить. Обычно, эти уже хорошо известные методы, как раз и вербализуют, формализуют. Но ключ к решению лежит в операциях, выходящих за рамки известного. Это не означает, что операции не познаваемы, так как предъявленные конкретно в уме, подобно знакам на бумаге, они могут быть видны всем. Т.е. в конкретном предъявлении математик может знать о них абсолютно, может видить их, различать такие мыслительные операции. Ведение синоним знания (не зря есть книга Веды). И вот тогда, идёт полный отказ от какой-либо формализации, от какой-либо завязки на старое, поскольку может оказаться, что именно такие завязки и мешают решить задачу, кроме того, таких обычных операций, как правило, не достаточно по количеству, мало в самом прямом смысле. Из-за этого, для того, чтобы решить задачу, необходимо просмотреть огромный объём информации в собственном уме. Из-за этого, математик настолько сильно сосредотачивается на задаче, что его интеллектуальный процесс с некоторого момента уже нельзя назвать "рассуждением". Сосредоточнение мысли становится очень сильным. Такое сосредоточение становится по сути медитацией. Включаются некие глубокие мыслительные инстинкты, изначальная интуиция, чистая мысль, с позиции которых слова не имеют никакого значения. В этом состоянии, в уме связывается огромное число конкретных ассоциаций, точек зрения, мыслительных реакций. Математик может их сопоставлять и видеть сразу, без так называемого дедуктивного вывода. Видно, как в ум притекает физиологическая энергия особого рода. Выразить такой процесс через слова в принципе не возможно.

Иногда при сосредоточнии можно видеть даже работу собственного мозга: отдел мозга вопроизводит частное видение предмета исследования, т.е. с некоторой точки зрения, и затем несколько таких отделов проецируют видение задачи в один синтезирующий отдел, где сознание (со-знание) склеивает точки зрения, и проделывает умозаключение не на основе рассуждения, а сразу, на основе непрерывной работы нейронов. Вот это и есть настоящая математическая логика.

Сама же интуиция основана не на опыте, как думают некоторые, она изначально дана каждому живому существу для поиска истины, собственно как инстинкт, как способность усматривать истину сразу, не имея опыта. У разумных существ, включается ещё и аналитика - различение.

Только давайте в случае введения высшей математики в школу в большом объме быть готовыми либо к полному непониманию школьниками этой самой математики, либо к выпадению из курса школьной программы других предметов. Автор предлагает введение в школьную программу помимо матана еще и линейной алгебры (а что только комплексные числа? Давайте сразу тогда еще и теорию групп включим, понятие поля и т.д.), теории множеств и математической логики. Множества школьники будут обстоятельно, по всей видимости, проходить: коль уж включаем парадокс Рассела, придется же и теорию множеств Кантора проходить, и теорию множеств аксиоматическую. А теоремы Гёделя как проходить? Без доказательства?

И еще, в школе действительно говорят, что квадратный корень из отрицательного числа извлечь невозможно. И что? Тут же явно подразумевается, что не существует действительного! корня. Можно, конечно, забить голову понятием комплексного числа, добавить, там, основную теорему алгебры с точным доказательством. Но надо же еще и объяснить, что это за числа и зачем они нужны. И вообще, объяснить, что эти объекты "числами" являются условно. По-хорошему нужно учить после начала работы с полями. А то так тоже можно для общего развития седенионы проходить.

Я уверен, что элементарная математика, выученная в школе на хорошем уровне даст школьнику намного больше, чем расплывание по сложным теоремам без четкого представления, что это такое. МГУ до этого года прекрасно обходился на вступительных без матанализа.

Добавлено (2009-08-04, 5:30 Pm)
---------------------------------------------
albega, это ваш текст?
Вам кажется, что lim(f(x)g(x)) не равно lim(f(x))lim(g(x)) в общем случае - лишь пустая формальность? Вы считаете, что использование объекта, о котором имеется лишь туманное представление - движение в правильном направлении?
Матанализ в школе, в том виде, в котором есть, не развивает ни интуиционное, ни формалистическое мышление. В идеале должно быть развито и то, и то. Работа с формальным определением предела функции - очень хорошая задачка для развития навыков анализа (меняем местами какие-то кванторы и пытаемся понять, что получилось; или самостоятельно и не по памяти доказать свойства пределов). Вот если бы это было достижимо в школе для достаточно большого количества учеников, вопросов к матану у меня не было бы. А так лучше хорошенько выучить элементарную математику.